ドアの鍵は「the key of the door」？「the key to the door」？
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This is the key （ ） the front door.
A) of B) to
「of」は「一部分」を表すときに使う
前置詞「of」はよく「…の」と訳され、「一部分、部品」を表す時によく用いられます。
The handle of the mug is broken off.
（マグカップの取っ手が取れた）
「取っ手（handle）」は「マグカップ（mug）」の一部分です。
もう一つ、例を見てみます。
The peak of the mountain is covered with snow.
（山頂部分は雪で覆われています）
スケールは変わっても、考え方は同じですね。「山頂（peak）」は「山（mountain)」の一部分です。
こうして、「全体の一部分」を「of」を使って、「一部分 of 全体」で表現します。
さて、問題は「鍵はドアの一部分かどうか」というところにあります。
もちろん、「handle（取っ手）」は「ドアの一部分」です。そのため、「the handle of the door」です。
しかし、「鍵は違う」と考えます。鍵はドアに「合わせる、ピタリとくっ付けるもの」です。一部分ではありません。
そのため、「of」ではない前置詞を使う必要があります。
付属する感覚の「to」
そしてこの場合、使う前置詞は「to」になります。
B) to
This is the key （ to ） the front door.
「to」はもちろん、「到着」する時に使います。よくあるのが、「go to school」などですね。
I always go to school with my sister.
（私はいつも姉と一緒に学校に行く）
このように、ピタリと学校に到着しているイメージが、「to」の感覚です。
もう一つ例を挙げましょう。
I gave a present to my mother.
（私は母にプレゼントをあげた）
同じですね。「give 物 to 人」で「人に物を渡す」意味ですが、ピタリとくっつく感じが「to」です（そのため、「to」はよく「到達点が高い」と言われます）
the key to the door
（そのドアの鍵）
どうでしょうか。
構図的に同じなのが、分かると思います。このように、「ドアにピタリと合わせる、くっ付ける」感覚から、「to」を使い、「the key to the door」と表現します。
その他の例文
この「to」を使った、その他の例文を見てみます。
Do you know the solution to this problem?
（あなたは問題の解決方法を知っていますか？）
「解決方法（solution）」と「問題（problem）」の関係性は、「鍵」と「ドア」の関係性と同じです。
The answer to your question is no.
（その質問の答えは「NO」だ）
これも同じで、「答え（answer）」と「質問（question)」の関係性も「to」を使います。
Working hard is the key to success.
（ハードワークは成功への鍵だ）
このように、比喩的に使うこともできます。
I met the U.S. ambassador to Japan.
（私は駐日米国大使に会った）
「大使（ambassador）」も「鍵」と同じ感覚です。日本にピタリとくっ付いていると考え、「to」で繋ぎます。
He’s married to my sister.
（彼は私の姉と結婚した）
これはよく「with」と間違えますが、ピタリとくっつく感覚のため、「to」で繋ぎます。「be married to …」で「…と婚姻関係にある」意味。
They’re related to each other.
（彼らは血縁関係にある）
「be related to …」で「…と血縁関係にある」意味です。「親戚」のことは「relative」と言います。
その後、英会話スクールの教室長、そして誰もが知っている大手英会話スクールの本部勤務を経て、日本の英語教育の「大きな問題点」に気付く。
2017年、脚本賞を受賞した「もしも高校四年生があったら、英語を話せるようになるか」を幻冬舎より出版（重版4回達成）特に「英語に失敗した大人世代」から大きな共感を得る。
現在は一般企業で英語を使って働きながら、Instagramを通し、学び方について発信中。その他にも講演会の実施やテレビ出演など。