「タクシーを呼び止める」動詞は何と言うか、イメージで確認しましょう。
タクシーを呼び止める動詞「hail」
タクシーを呼び止める動詞は「hail」を使います。
He’s hailing a taxi.
(彼はタクシーを呼び止めています)

これは走行しているタクシーを呼び止める時に使い、止まっているタクシーに乗り込む場合には使いませんので注意です(その場合は「take」が使えます)
また同じスペルで名詞の「hail」がありますが、それは「ひょう」や「あられ」の意味です。
以下、タクシーのコロケーションをまとめました。
動詞
call a taxi
タクシーを呼ぶ
Could you call a taxi for me?
(私にタクシーを呼んでくれませんか?)

この場合、「Could you call me a taxi, please?」でも表現できます。ただし、「a」を抜かしてしまうと、文法上「私を”タクシー”と呼んでください」の意味になりますので注意です。
get a taxi
タクシーを拾う
It’s getting late.We’d better get a taxi.
(遅れちゃっているから、タクシーに乗った方がいい)

「catch a taxi」でも表現できますが、「catch」は動いているものを捕まえるニュアンスなので、流しのタクシーを捕まえる時にピッタリです。
a taxi pull(s) up
タクシーが停車する
The taxi pulled up in front of the building.
(そのタクシーはその建物の前に停車した)

ちなみにどうして「pull up」で止まる意味になるかというと、まだ車ではなく馬で移動していた頃、手綱をぐいっと引っ張り(pull)上げて(up)、停めていたいたことに由来します。

get in a taxi
タクシーに乗り込む
She’s getting in a taxi.
(彼女はタクシーに乗り込んでいます)

「get in(into)」は中に入り込むイメージで、車やタクシーなどに使います。一方、バスや電車、船、飛行機などの公共機関のものはやってきたものに飛び乗るイメージで「get on」を使います。
そのため、「get in」は小さな乗り物に使いがちで、基本的に自分で行き先を決められたりします(バスなどの公共機関はルートが決まっており、自分で行き先を決められません)
get out of a taxi
タクシーから出る
He’s getting out of a taxi.
(彼はタクシーから出てきています)

take a taxi
タクシーに乗る
She took a taxi to the airport.
(彼女は空港までタクシーを使った)
✅この場合、「She went to the airport by taxi.」でも表現できます。
これは乗り込む動作ではなく、移動手段としてタクシーを選んだという意味です。「乗り込んで移動し、降りるまでの一連の動作」を指す。また「take」はひょいっと取る感覚で、「選ぶ」というニュアンスがあります。
【その他】
taxi driver
タクシーの運転手さん
taxi stand
タクシー乗り場
taxi fare
タクシー料金
(ナレーション:音読さん)
覚えた表現は、オンラインレッスン中に使っていく中で定着していきます。
全て「無料体験」がありますので、自分に合ったスクールや講師が見つかるまで、色々と試してみて下さい。